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counter for long, thin things (i.e. swords)
「枝」 has another reading with different meanings.
武士は刀を一枝腰に差して歩いています。
I have one sword.
戦いに備えて槍を二枝用意しました。
I prepared two spears.
博物館には古い三枝の剣が展示されている。
There are three swords.