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to parody; to make a parody of; to pun (on)
to twist; to distort
「捩る」 has other readings with different meanings.
人気ドラマのタイトルを捩ったジョークを言った。
I made a joke playing on the title of a popular drama.
紐を捩って強度を上げることができる。
You can increase strength by twisting the cord.
その映画のタイトルは有名な諺を捩ったものだ。
The movie title is a parody of a famous proverb.