Fetching details from the dictionary...

to carry through; to achieve; to complete
最後まで遣り通すという決意があります。
I'm determined to carry it through to the end.
困難があっても遣り通すつもりです。
I intend to carry through even if it's difficult.
約束を遣り通して周囲の信頼を得ました。
I gained trust by keeping my promise.